If $2 s i n^{2} θ + 3 c o s θ - 3 = 0$ , then the value of the acute angle $θ$ is-

Created: 2 months ago | Updated: 2 months ago

Updated: 2 months ago

ক

$0 °$
খ

$30 °$
গ

$45 °$
ঘ

$60 °$

ব্যাখ্যাঃ

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

$2\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0$

আমরা ত্রিকোণমিতিক অভেদ থেকে জানি, $\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$। এই অভেদটি প্রদত্ত সমীকরণে $\sin^2\theta$ এর পরিবর্তে বসিয়ে পাই:

$2(1 - \cos^2\theta) + 3\cos\theta - 3 = 0$

বন্ধনী তুলে এবং গুণ করে পাই:

$2 - 2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 3 = 0$

পদগুলিকে সরল করে পাই:

$-2\cos^2\theta + 3\cos\theta - 1 = 0$

সমীকরণটিকে $-1$ দ্বারা গুণ করে সাজিয়ে লিখলে পাই:

$2\cos^2\theta - 3\cos\theta + 1 = 0$

এটি $\cos\theta$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। এটিকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factorization) করে সমাধান করা যেতে পারে:

$2\cos^2\theta - 2\cos\theta - \cos\theta + 1 = 0$

$2\cos\theta(\cos\theta - 1) - 1(\cos\theta - 1) = 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta - 1) = 0$

এই সমীকরণটি সত্য হওয়ার জন্য, এর উৎপাদকগুলির মধ্যে যেকোনো একটির মান শূন্য হতে হবে। অতএব, আমরা দুটি সম্ভাব্য সমাধান পাই:

কেস ১:

$2\cos\theta - 1 = 0$

$2\cos\theta = 1$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$

আমরা জানি যে, $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$।

সুতরাং, $\theta = 60^\circ$

কেস ২:

$\cos\theta - 1 = 0$

$\cos\theta = 1$

আমরা জানি যে, $\cos 0^\circ = 1$।

সুতরাং, $\theta = 0^\circ$

প্রশ্নে সূক্ষ্মকোণ (acute angle) এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে। গণিতের সংজ্ঞানুসারে, একটি সূক্ষ্মকোণ হলো যে কোণের পরিমাপ $0^\circ$ এর চেয়ে বেশি এবং $90^\circ$ এর চেয়ে কম ($0^\circ < \theta < 90^\circ$)। প্রাপ্ত সমাধানগুলির মধ্যে, $60^\circ$ একটি সূক্ষ্মকোণ। তবে, $0^\circ$ কে সাধারণত সূক্ষ্মকোণ হিসাবে বিবেচনা করা হয় না কারণ এটি $0^\circ$ এর চেয়ে বড় নয়।

অতএব, নির্ণেয় সূক্ষ্মকোণ $\theta = 60^\circ$।

Najjar Hossain Raju

1 month ago

MCQ: 91 CQ: 26

Practice

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত ও অনুপাতের সম্পর্ক

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত হলো সমকোণী ত্রিভুজের বাহুগুলোর মধ্যে নির্দিষ্ট অনুপাত। এই অনুপাতগুলো ব্যবহার করে কোণ ও বাহুর মান নির্ণয় করা যায়।

ত্রিকোণমিতিক অনুপাত (Basic Ratios)

একটি সমকোণী ত্রিভুজে কোনো কোণ θ হলে—

সাইন (Sine)

$\sin θ = \frac{লম্ব}{কর্ণ}$

কোসাইন (Cosine)

$\cos θ = \frac{ভূমি}{কর্ণ}$

ট্যানজেন্ট (Tangent)

$\tan θ = \frac{লম্ব}{ভূমি}$

রেসিপ্রোকাল অনুপাত (Reciprocal Ratios)

• cosec θ = 1 / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cot θ = 1 / tan θ

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের পারস্পরিক সম্পর্ক

১. মৌলিক পরিচিতি (Fundamental Identity)

${\sin θ}^{2} + {\cos θ}^{2} = 1$

২. ট্যানজেন্ট ও সেক্যান্ট সম্পর্ক

$1 + {\tan θ}^{2} = {\sec θ}^{2}$

৩. কট ও কোসেক সম্পর্ক

$1 + {\cot θ}^{2} = {cosec θ}^{2}$

পরিপূরক কোণের সম্পর্ক (Complementary Angles)

যদি দুটি কোণ পরিপূরক হয় (θ এবং 90° − θ), তবে—

• sin θ = cos (90° − θ)
• cos θ = sin (90° − θ)
• tan θ = cot (90° − θ)
• sec θ = cosec (90° − θ)

গুরুত্বপূর্ণ অনুপাত সম্পর্ক

• tan θ = sin θ / cos θ
• cot θ = cos θ / sin θ
• sec θ = 1 / cos θ
• cosec θ = 1 / sin θ

উদাহরণ

যদি sin θ = 3/5 হয়, তবে—

cos θ নির্ণয়:

${\sin θ}^{2} + {\cos θ}^{2} = 1$

(3/5)² + cos²θ = 1
9/25 + cos²θ = 1
cos²θ = 16/25
cos θ = 4/5

মনে রাখার কৌশল

• sin, cos, tan = মৌলিক অনুপাত
• sec, cosec, cot = বিপরীত অনুপাত
• সব পরিচিতি sin² + cos² = 1 থেকে তৈরি

ত্রিকোণমিতিক অনুপাতগুলোর সম্পর্ক

মনে করি, ∠XOA = θ একটি সূক্ষ্মকোণ।

পাশের চিত্র সাপেক্ষে, সংজ্ঞানুযায়ী,

ত্রিকোণমিতিক অভেদাবলি

উদাহরণ ৩. $\tan A = \frac{4}{3}$ হলে, A কোণের অন্যান্য ত্রিকোণমিতিক অনুপাতসমূহ নির্ণয় কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{4}{3}$ ।

উদাহরণ ৪. ABC সমকোণী ত্রিভুজের ∠B কোণটি সমকোণ। tan A = 1 হলে 2sin A.cos A = 1 এর সত্যতা যাচাই কর।

সমাধান : দেওয়া আছে, tan A = 1

অতএব, বিপরীত বাহু = সন্নিহিত বাহু = a

উদাহরণ ৫. প্রমাণ কর যে, $\tan θ + c o t θ = s e c θ . \cos e c θ$

সমাধান :

বামপক্ষ = $\tan θ + c o t θ$

$= \frac{\sin θ}{\cos θ} + \frac{\cos θ}{\sin θ}$

উদাহরণ ১০. প্রমাণ কর : $\sqrt{\frac{1 - \sin A}{1 + \sin A}} = s e c A - \tan A$

সমাধান :

Notification

If $2 s i n^{2} θ + 3 c o s θ - 3 = 0$ , then the value of the acute angle $θ$ is-

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

Notification

If 2sin2θ+3cosθ-3=0, then the value of the acute angle θ is-

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion

If $2 s i n^{2} θ + 3 c o s θ - 3 = 0$ , then the value of the acute angle $θ$ is-